UC知道问大家种有趣的数学问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/25 17:58:43
谁能推翻下面的结论 （”．．．”代表无限循环）
1. 证明0.999．．＝1
设a＝0.999．．
所以100a＝99.999．．．
则100a－1a＝99a＝99.99．．．－0.999．．＝99
所以99a＝99
所以a＝1
则0.999．．．＝1
2. 证明0.1111．．．＊9＝1
因为1/9＝0.111．．．
1/9＊9（分母和分子约去）＝1
所以0.111．．．＊9＝1
1. 证明0.999．．＝1
设a＝0.999．．
所以100a＝99.999．．．
则100a－1a＝99a＝99.99．．．－0.999．．＝99
所以99a＝99
所以a＝1
则0.999．．．＝1
2. 证明0.1111．．．＊9＝1
因为1/9＝0.111．．．
1/9＊9（分母和分子约去）＝1
所以0.111．．．＊9＝1
1,
0.99999...
= 9/10 + 9/100 + ... + 9/10^n + ...
设
a(1) = 9/10, a(n) = 9/10^n, n = 1,2,...
则，
s(n) = a(1) + a(2) + ... + a(n)
= 9/10 + 9/100 + ... + 9/10^n
= 9/10[1 + 1/10 + ... + 1/10^(n-1)]
= 9/10[1 - 1/10^n]/[1 - 1/10]
= 1 - 1/10^n
n趋于正无穷时，s(n)的极限为1.
所以
0.99999...
= 9/10 + 9/100 + ... + 9/10^n + ...
= lim_{n->正无穷}s(n)
= 1
结论正确。
【不用谬论，无法推翻真理啊。】
2，
0.111111...
= 1/10 + 1/100 + ... + 1/10^n + ...
设
a(1) = 1/10, a(n) = 1/10^n, n = 1,2,...
则，
s(n) = a(1) + a(2) + ... + a(n)
= 1/10 + 1/100 + ... + 1/10^n
= 1/10[1 + 1/10 + ... + 1/10^(n-1)]
= 1/10[1 - 1/10^n]/[1 - 1/10]
= [1 - 1/10^n]/9
n趋于正无穷时，s(n)的极限为1/9.
所以
0.11111...
= 1/10 + 1/100 + ... + 1/10^n + ...
= lim_{n->正无穷}s(n)
= 1/9
结论正确