设f(x)=∫(上x 下1)lntdt/1+t,求f(2)+f(1/2)

f(2) + f(1/2)

= ∫(上2 下1)lntdt/(1+t) + ∫(上1/2 下1)lntdt/(1+t)

t = 1/x, dt = -dx/x^2, t:1->1/2, x:1->2

∫(上1/2 下1)lntdt/(1+t) = ∫(上2 下1)ln(1/x)(-dx)/[(1+1/x)x^2]

= ∫(上2 下1)lnxdx/[(1+x)x]

= ∫(上2 下1)lnxdx/x - ∫(上2 下1)lnxdx/(1+x)

所以
f(2) + f(1/2)

= ∫(上2 下1)lntdt/(1+t) + ∫(上1/2 下1)lntdt/(1+t)

= ∫(上2 下1)lntdt/(1+t) + ∫(上2 下1)lnxdx/x - ∫(上2 下1)lnxdx/(1+x)

= ∫(上2 下1)lnxdx/x

= (1/2)[lnx]^2(上2 下1)

= 1/2[ln2]^2

由变量代换，令u=1/t,
f(x)=∫(上1/x 下1)ln(1/u)/(1+1/u)(-1/u^2)du
=∫(上1/x 下1)lnudu/(u+u^2)
f(x)+f(1/x)
=∫(上1/x 下1)lnudu/(1+u)+∫(上1/x 下1)lnudu/(u+u^2)
=∫(上1/x 下1)ludu/u
由分部积分
∫lnudu/u
=(lnu)^2-∫lnudu/u
则∫lnudu/u=(lnu)^2/2
f(x)+f(1/x)=(lnx)^2/2
f(2)+f(1/2)=(ln2)^2/2