已知函数f（x）=（x-m）＾n，n∈N*，且对任意x∈R，

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/10 18:43:05
已知函数f（x）=（x-m）＾n，n∈N*，且对任意x∈R，都有f′（3-x）=f（x+3），则m= ------，f（x）的单调性是 。

fsd

f（3-x）=（3-x-m）＾n;f′（3-x）=n·（3-x-m）＾(n-1);
f（x+3）=（x+3-m）＾n;
于是n·（3-x-m）＾(n-1)=（x+3-m）＾n;
因为是填空题,可对x,n任意取个值来求出m.
令x=0,n=1,则1·（3-0-m）＾0=（0+3-m）＾1;
m=2.
<然后,可以用数学归纳法进一步证明m=2>

f（x）=（x-2）＾n
则f'（x）=n·（x-2）＾(n-1)
当且仅当x=2时,f'（x）=0;

一、当n是奇数时,
1)当x＜2时,f'（x）=n·（x-2）＾(n-1)>0;单调递增;
2)当x≥2时,f'（x）=n·（x-2）＾(n-1)>0;也单调递增;
∴在x∈R上,f（x）=（x-2）＾n单调递增;
二、当n是偶数时,
1)当x＜2时,f'（x）=n·（x-2）＾(n-1)<0;单调递减;
2)当x≥2时,f'（x）=n·（x-2）＾(n-1)>0;单调递增;