问一道线性代数的题目

首先α1为Ax=b的一个特解
下面只需要求Ax=0的通解就可以了
由r(A) = 3,而A是4阶矩阵,所以Ax=0的通解是1维线性空间,即基的个数为1
而α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量
所以α1-α2,α1-α3都是Ax=0的解向量
所以α1-α2+α1-α3=2α1-(α2+α3)也是Ax=0的解向量
2α1-(α2+α3)=(2,-2,1,-4)T
所以Ax=b的通解可以写成:α1+c*(2α1-(α2+α3))=(1,0,2,0)T+c(2,-2,1,-4)T

线性方程组Ax=b的通解等于Ax=b的一个特解加上Ax=0的通解
α1=(1,0,2,0)T是Ax=b的一个特解
Aα1=b
Aα2=b
Aα3=b
Aα2+Aα3=A(α2+α3)=2b
A(2α1-α2-α3)=0
即2α1-α2-α3是Ax=0的解 又r(A) = 3 所以Ax=0的基础解系只含有一个解向量
所以Ax=b的通解=α1+c(2α1-α2-α3）=(1,0,2,0)T+c(2,-2,1,-4)T

希望我回答的你能满意~~

Ax=b解的形式是 相应的齐次方程Ax=0的通解 ζ加上一个Ax=b的特解η，即

x=cζ+η

ABCD选项，特解都是选的一样的η=α1,再看通解（齐次方程的，下同，后面不特别说明），
r(A) = 3，那么通解的秩为4-3=1.

α2+α3-2α1,便减去了其中的特解成分，他就是一个通解（可以代入Ax=b验证）。
α2+α3-2α1=（-2，2，-1，4），所以
ζ=c（-2，2，-1，4）。

只有B满足，它只和ζ差一常数。

回答：
应该说通解是不唯一的。但在ABCD这4个选项中，只有B正确。
非齐次线性方程组的通解由它的一个特解和对应的齐次线性方程的通解构成。所以求解此题，要找到对应的齐次线性方程的通解。
由秩 r(A) = 3可知对应齐次线性