罗尔定理,或 拉格郎日中值 定理 的应用

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/12 07:47:01
证明下列不等式 ∣arctan a – arctan b ∣≤∣a-b∣

大家有空的帮 拜托帮忙总结个方法 谢谢

令x=arctana,y=arctanb,那么a=tanx,b=tany
不妨设x>=y

只需证-pi/2<y<=x<pi/2时 (a的定义域决定)
x-y<=tanx-tany (tan在此区间上单调)

拉格朗日中值定理得
tanx-tany=secp*(x-y)

其中x<=p<=y
则cosp<=1

tanx-tany>=x-y.

我周6刚看的书。不知道对不对。。

设f(x)=arctanx,则在[a,b](或者[b,a])上运用拉格朗日中值定理，得
arctan a – arctan b =[1/(1+x^2)](a-b)
上式两边取绝对值，且（arctanx)'=1/(1+x^2)<1，
于是∣arctan a – arctan b ∣≤∣a-b∣成立。

令x=arctana,y=arctanb,那么a=tanx,b=tany
不妨设x>=y

只需证-pi/2<y<=x<pi/2时 (a的定义域决定)
x-y<=tanx-tany (tan在此区间上单调)

拉格朗日中值定理得
tanx-tany=secp*(x-y)

其中x<=p<=y
则cosp<=1

tanx-tany>=x-y.