P为三角形ABC内任一点，求证：AB+AC+AC>PA+PB+PC>1/2(AB+BC+AC)

延长BP与AC边相交于点D,由三角形两边之和大于第三边得
AB+AD>BD,PD+DC>PC,故
AB+AD+PD+DC>BD+PC=PB+PD+PC,AB+AD+DC>PB+PC,
即AB+AC>PB+PC,
同理可证,AB+BC>PA+PC,BC+CA>PB+PA
将上面3式相加得2AB+2AC+2AC>2PA+2PB+2PC,AB+AC+AC>PA+PB+PC.
再由三角形两边之和大于第三边得
PA+PB>AB ,PB+PC>BC ,PC+PA>CA
将上面3个式子相加得
2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA
PA+PB+PC>1/2(AB+BC+AC)

证明右边
三角形两边之和大于第三边
PA+PB>AB
PB+PC>BC
PC+PA>CA
把3个式子加起来
2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA
==>PA+PB+PC>1/2(AB+BC+AC)

证明左边
因为P点在三角形内
所以PA+PB<CA+CB
PB+PC<AB+AC
PC+PA<BC+BA
三个式子加起来
2(PA+PB+PC)<2(AB+BC+CA)
==>AB+BC+CA>PA+PB+PC

得出AB+AC+AC>PA+PB+PC>1/2(AB+BC+AC)

kanbudoong