点P是等腰直角三角形ABC的底边

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 05:13:15
点P是等腰直角三角形ABC的底边BC延长线上的一点，过P作BA，AC的垂线，垂足分别为E，F，设D为BC的中点，则有DE垂直与DF吗，试说明。若P为线段BC上一点，DE还垂直DF吗

解：（1）、DE⊥DF
理由：
∵D是直角三角形ABC斜边上的中点
∴AD=DC
∵PE⊥BE, PF⊥AF,FA⊥BE
∴四边形AEPF是矩形
∴PF=AE
∵Rt△PFC中，∠FCP=∠ACB=45度
∴PE=FC
∴FC=AE
∵FC=AE, ∠EAD=∠DCF=180度-45度=135度,AD=DC
∴△EAD≌△FCD(SAS)
∴∠CDF=∠ADE
∵∠ADE+∠EDC=90度
∴∠CDF+∠EDC=90度
∴DE⊥DF
（2）、DE⊥DF
理由：分三种情况。
第一种情况，当P在BC的中点处。（即P和D重合）
∵∠EDF=180度-∠BED-∠CDF=180度-45度-45度=90度
∴DE⊥DF
第二种情况，当P在D、C中间的时候，可类比上面的过程证△EAD≌△FCD(SAS)，其他与上面证明过程雷同。
第三种情况，当P在B、D中间的时候，可类比上面的过程证△EBD≌△FAD(SAS)，其他与上面证明过程与上面类似。

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