幂级数的求和

1/n(2n-1)=2*(1/(2n-1)-1/(2n))，所以把f拆开得到两项,
f=2*(x*求和gn+求和hn)=2*(g+h)。两边形式类似，所以这里只说一下h=求和(-1)^n*x^(2n)/2n。

各项求导，对于|x|<1，h的导数等于各项导数的和，因此h'=求和(-1)^n*x^(2n-1)。把x^2看作y，那么h'就可以写成类似C*x/(1+y)=C*x/(1+x^2)的形式，C为常数。因此积分可得h=C/2*ln(1+x^2)。
同样，gn的和也可以这样求，不要忘记还要乘x。

如果我没算错的话，答案应该是2xarctanx-ln(1+x^2)

另外，如果是理科，要注意收敛半径。

补充：这是两个函数的展开式：
ln(1+x): upload.wikimedia.org/math/7/e/7/7e7a1193dff73cedef0c5ff515985d9d.png

arctanx: upload.wikimedia.org/math/b/f/6/bf6d2b531a14df297dc6a79ed7d20b9c.png