数列求和的问题

首先, 用公式
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
可以求出
1+2+...+n=n(n+1)/2. 方法是
(1+1)^2=1^2+2*1*1+1^2=1^2+2*1+1
(2+1)^2=2^2+2*2*1+1^2=2^2+2*2+1
...
(n+1)^2=n^2+2*n*1+1^2=n^2+2*n+1

把所有等式两边加起来
2^2+3^2+...+(n+1)^2=1^2+2^2+...+n^2+2(1+2+...+n)+(1+1+...+1)
(n+1)^2=1^2+2(1+2+...+n)+n
1+2+...+n=n(n+1)/2

同样方法用公式
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
可以求出
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
以及
1^k+2^k+...+n^k (k=3,4,...)

1/6*[n*(n+1)*(2n+1)]
推导就用数学归纳法，很简单的．

画个长方形,长为1+2+3+...n,宽为n,然后在长方形内部依次画n个正方形,边长分别为1.2.3...n.

那么长方形的总面积为:(1+2+3+...n)*n=(1^2+2^2+...n^2)+{1*(n-1)+2*(n-2)+...(n-1)*[n-(n-1)]}

大括号可以散开求解