为什么n阶行列式的元素都是1和-1,那么行列式的值是偶数

数学归纳法:

设n阶行列式为A,元素皆为正负1.

n=1时不算在内.
n=2时,显然成立.

假设n=k时成立.

则n=k+1时,行列式A按照第一行展开:

A=a11*A11*(-1)^(1+1)+...+a1i*A1i*(-1)^(1+i)+...+a1n*A1n*(-1)^(n+1)

根据数学归纳法,上式中所有的A1i,也就是A中的元素a1i在行列式中的余子式,这些A1i都是元素为正负1的阶数>=2的行列式。根据归纳假设，A1i都为偶数。而这些偶数的组合，A，也必然为偶数。

根据归纳原理，所有元素为正负1的行列式，值都为偶数。

证明完毕。

不是吧，
n = 1的时候，行列式要么是1，要么是-1.是奇数啊。

n >= 2的时候，就像 红莲冰雪剑 说的。
让其中的2行相加，行列式的值不变。而被加的那一行的元素都是偶数了。
再按都是偶数的这一行把行列式展开，因此，行列式的值一定是偶数了。

有题设知，n阶行列式的元素都是1和-1,则由行列式的基本性质（计算行列式的常用方法）（把一行的倍数加到另一行，行列式不变，对换行列式中两行的位置，行列式反号，如果哦噢噢行列式中两行成比例，那么行列式为零）知。无论经过如何的初等变换，最终只会剩下作为基准的一行（或一列）是1和-1，其他均为2或0或-2，由此行列式的展开式中每项都会变成（-1）r(j1j2j3j4…jn）（这个指的是逆序数我不会打……）在乘以2或0或-2这三个数字的组合乘积。由此，无论组合如何，行列式的值都将会是偶数。

我承认这个证明有些混乱，不过我想大体思路应该是这样，楼主可以自己整理整理语句，应该没什么问题的~

根据n阶行列式的定义，其值应该是n！个数相加（第一列的元素取法有n种，第二列就有n-1种……，最后一列只有一种，用排列组合的话，很好理解）而这n！个数，是（-1）^t*行列式中元素的积（这些元素来自不同行，不同列，而t决定于这些元素在行列式中的位置）可见，这n！个数只可能是1，或-1，