设m,n为正整数，且m不等于2，二次函数y=x^2+(3-mt)x-3mt的图像

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 10:28:06
设m,n为正整数，且m不等于2，二次函数y=x^2+(3-mt)x-3mt的图像与x轴的两个焦点间的距离为d1，二次函数y=-x^2+(2t-n)x+2nt的图像与x轴的两个交点间的距离为d2，如果的d1大于等于d2对一切实数t恒成立，求m,n的值

十四校联考题目，这题我做到后面一个关于T的不等式之后不知如何做下去。希望能给详细的过程

y=x^2+(3-mt)x-3mt
x1+x2=mt-3,x1x2=-3mt
所以d1^2=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=m^2t^2+6mt+9=(mt+3)^2

y=-x^2+(2t-n)x+2nt
x1+x2=2t-n,x1x2=-2nt
d2^2=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4t^2+4nt+n=(2t+n)^2

d1>=d2>0
所以d1^2-d2^2>=0
所以(mt+3)^2-(2t+n)^2>=0
(m^2-4)t^2+(6m-4n)t+9-n^2>=0恒成立
所以判别式小于等于0
所以(6m-4n)^2-4(m^2-4)(9-n^2)<=0
36m^2-48mn+16n^2-4(9m^2-m^2n^2-36+4n^2)<=0
-12mn+m^2n^2+36<=0
(mn-6)^2<=0
所以只有mn-6=0
mn=6
m,n为正整数

所以有四组解
m=1,=6
m=6,n=1
m=2,n=3
m=3,n=2