a,b,c为整数，(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/(a+b+c) 证明abc三数中必有两数和为零

(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/(a+b+c)

去分母得
bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc

(a+b+c)(bc+ac)+ab(a+b)=0

(a+b)(ac+bc+c^2+ab)=0
(a+b)(b+c)(c+a)=0

所以(a+b)，(b+c)，(c+a)中至少有一个是0

(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/(a+b+c)
化为(bc+ac+ab)/abc=1/(a+b+c)
即(bc+ac+ab)(a+b+c)-abc=0
a^2b+ab^2+2abc+a^2c+ac^2+b^c+bc^2=0
(ab^2+2abc+ac^2)+(a^2b+a^2c)+(b^2c+bc^2)=0
a(b+c)^2+a^2(b+c)+bc(b+c)=0
(b+c)(a^2+ab+ac+bc)=0
(b+c)(a+c)(a+b)=0
故b+c=0或a+c=0或a+b=0
则abc三数中必有两数和为零

(1/b)+(1/c)=1/(a+b+c)-(1/a)
(b+c)/bc=-(b+c)/a(a+b+b)
如果b+c=0,该式显然成立
如果b+c不等于0
消去b+c,得1/(bc)=-1/a(a+b+c)
既bc=-a(a+b+c)=0
bc+a^2+ab+ac=0
c(a+b)+a(a+b)=0
(a+c)(a+b)=0
故，b+c=0时该式成立 b+c不等于零时，a+c,a+b至少有1个为0
故abc三数中必有两数和为零