等边三角形ABD C在AB上 N是CD中点 P是BD中点

1)证：∵△ABD为正三角形

∴DC⊥AB，AC=BC  (三线合一)

∵N为DC中点，P为DB中点

∴NP为中位线

∴BC=2NP且BC‖NP

∴∠PNQ=∠ECQ    (内错角)

∵Q为CN中点

∴NQ=CQ

在△QNP和△QCE中

∠EQC=∠PQN     (对顶角)

NQ=CQ

∠PNQ=∠ECQ

∴△QNP≌△QCE  (ASA)

∴PN=EC

∵BC=2NP

∴BC=2EC

∵AC=BC

∴AC=2EC

∴AC=CE

2）成立

证：（1）：当C在M左侧时，

NP为△CBD的中位线

∴NP‖AB，2NP=BC

∴∠QNP=∠QME

∵Q为MN中点

∴MQ=NQ

在△QNP和△QME中

∠QNP=∠QME

MQ=NQ

∠MQE=∠NQP   （对顶角）

∴△QNP≌△QME  （ASA）

∴NP=ME

∵2NP=BC

∴2ME=BC

∴2(AM-AE)=BC

∴2(BM-AE)=BM+CM

∴2BM-2AE=BM+CM

∴BM=CM+2AE

∵BM=AM=AE+EC+CM

∴CM+2AE=AE+EC+CM

∴AE=CE

（2）当C在M右侧时

同理，NP为△CBD中位线，

∴2NP=BC，NP‖AB

△QME≌△QNP

∴EM=NP=BC/2

∴BC=2EM

∴BC=BM-MC=2EM=2(AM-AE)

∴BM-MC=2AM-2AE

∵AM=BM

∴AM=2AE-MC