很有价值的一道数学题已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系式|ka+b|=√3|a-kb|,(k>0)

这题我作过。是不是“测试15 期末测试”的17题。
解：⑴ab=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α+β)
关系式两边平方，3*(a-kb) ^2=(ka+b)^2
用向量的乘法把两个式子一联立，得a*b=(k^2+1)/4k
⑵∵k^2+1>0,4k>0
∴a*b≠0 ∴不能垂直
∵sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)≠0∴不能平行
⑶设夹角为θ，
│a││b│=1
cosθ=a*b/│a││b│=(k^2+1)/4k>0.5
∴θ≤60°

|ka+b|=√3|a-kb|
=>
K^2a^2+b^2+2kab=3(a^2+K^2b^2-2kab)
=>
4kab=1+K^2
f(k)=(1/k+k)/4
a与b垂直=>f(k)=0
=>无解
平行=>f(k)=1
f(k)=-1
=>k^2+1=4k
k^2+1=-4k
=>

求a与b夹角的最大值

f(k)=abcos夹角
k>0=>f(k)>=0.5
abcos夹角>=0.5
cos夹角>=0.5
夹角=<60

解：(1)∵a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)
∴ka=(kcosα，ksinα)，kb=(kcosβ，ksinβ)
又 |ka+b|=√3|a-kb|
∴ |ka|²+|b|²+2kab=3(|a|²+|kb|²-2kab)
∴ k²+1+2k(cosαcosβ+sinαsinβ)=3[1+k²-2k(cosαcosβ+sinαsinβ)]
整理，得
2k²-8kcos(α