x(pi/2-arctanx)=? ,x→+∞

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 11:50:42
x(pi/2-arctanx)=? ,x→+∞
答案是1.怎么说明？请不要用展开，积分的方法。

图

x(pi/2-arctanx)=(pi/2-arctanx)/(1/x)="0/0" 型

罗比达法则

(pi/2-arctanx)/(1/x)=【(pi/2-arctanx)】’/【(1/x)】’
=（-1/(1+x^2))/(-1/x^2)
=x^2/(1+x^2)
=1 (x→+∞ )

显然，arctanx+arcctanx=pi/2
所以，x(pi/2-arctanx)=x*arcctanx=x*arctan(1/x)
而arctan(1/x)~1/x x→+∞
所以
x*arctan(1/x)=x*(1/x)=1