半径不等的两圆相交于A、B两点

最好把图发来。

大圆中同为弦BC对的两个圆周角，有∠BMC+∠BAC=180°，同理小圆中有∠BAD+∠BND=180°，由于∠BAC+∠BAD=180°，所以∠BMC+∠BND=180°，由于M、N分别为弧BC、弧BD的中点，所以MC=MB,同理NB=ND,又BP=CP,BQ=DQ，所以MP垂直于BC,NQ垂直于BD,且MP平分∠BMC,NQ平分∠BND,于是有∠BMP+∠BNQ=1/2(∠BMC+∠BND)=90°，又因为∠BPM=90°，所以∠BMP+∠MBP=90°，那么∠MBP=∠BNQ，又∠BPM=∠NQB=90°,所以△BPM相似于△NQB,于是BP:PM=NQ:QB得证

R、P分别为CD、BC中点，所以RP平行于BD,∠PRB=∠RBN,同理∠PRB=∠BRN,
BR=BR,△BPR全等于△RQB,那么BP=QN,PR=BQ,代入上一问，得到RQ:PM=NQ:PR
又由于平行得到∠CPR=∠CBD=∠RND,那么∠BPR=∠BQR,∠BPR+90°=∠BQR+90°
于是∠MPR=∠RQN
于是△RPM∽△NQR得证

1.连接BM和BN,由于P、M、N、Q都为弦和弧的中点，不难得到△BPM∽△NQB，且都为直角△，据相似三角形对应边成比例,从而得到结论；
2.在两个三角形中，多次使用中点的特点,可以得到对应角度相等,从而得到结论;

很抱歉，由于没图,只能这么说明,望谅解!!