以直角三角形ABC的直角边

相切
连接OM，
M、O都是中点则OM平行于BC
利用内错角相等和同位角相等证得AOM和DOM两三角形全等
则角ODM=90度
即可证的OD垂直于DM
所以MD切圆于D点

做DE垂直AC于E
DE:BO=DN:ON=2:3
DE:AB=2:6
CD:CB=2:6
CD:BD=2:4=1:2

相切
连接OM，
M、O都是中点则OM平行于BC
利用内错角相等和同位角相等证得AOM和DOM两三角形全等
则角ODM=90度
即可证的OD垂直于DM
所以MD切圆于D点

第二题
暂时没想出来。。。。

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★★【！！楼主，正解在此！！】★★

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第一问：

连接OM，可知OM为三角形ABC的中位线，从而有OM//BC，
∠MOA = ∠CBA，∠AOD = 2∠CBA，所以∠DOM = ∠MOA.
再由OA = OD,OM是公共线所以：
利用内错角相等和同位角相等证得AOM和DOM两三角形全等
则角ODM=90度
即可证的OD垂直于DM
所以MD切圆于D点

第二问：

由OM//BC可知：
ON:DN = OM:BD = 2:3, -------（平行线或由三角形相似得出）
OM:BC = 1:2, ----------------(中位线可得)
所以：BD = 3/4 * BC
CD = 1/4 * BC
从而：CD:BD = 1:3