高中数列问题 在线等~~

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/16 12:05:26
数列An=n,n∈N*.数列{1/An}的前n项和为Tn,数列{Tn}的前n项和为Rn,求证:当n≥2,n∈N时,R(n-1)=n(Tn-1)

最简单的方法,数学归纳法:
T[n]=1+1/2+...1/n
R[n]=T[1]+....T[n]
注:T[]中[]表示下标,下同
(1)当n=2时,T[2]=3/2,R[1]=1
所以R[1]=2(T[2]-1)成立
(2)假设当n=k也成立
即R[k-1]=k(T[k]-1)
当n=k+1时
R[k]=R[k-1]+T[k]=k(T[k]-1)+T[k]=k(T[k+1]-1/(k+1)-1)+T[k+1]-1/(k+1)
=(k+1)T[k+1]-k-1=(k+1)(T[k+1]-1)
所以当n=k+1时也成立
综合(1)(2)知原命题成立

R(n-1)=[(n-k)*(1/k)](k从1求和到n-1)=n*(1/k)-n+1(k从1求和到n-1)
nT-n=n*(1/k)-n(k从1求和到n)=n*(1/k)-n+n/n(k从1求和到n-1)
两式相等