高三数学题 在线等

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/05 00:57:25
设x∈(-1,1),n∈N,P=nx/(1+x),Q=(1+x)^n-1,试比较P，Q的大小，并证明所得结论。
这是数学归纳法里的一道练习题，请问该怎么证明，能用到数学归纳法么？

由-1<x<1,可知1+x>0，
当n=0时，P=0，Q=(1+x)^(-1)>0,
当n=1时，P=x/(1+x)=1-1/(1+x)<1, Q=(1+x)^0=1 故P<Q
假设当n=m时，P<Q,
此时P=mx/(1+x),Q=(1+x)^m-1=[(1+x)^m]/(1+x)
P<Q,且1+x>0即mx-(1+x)^m<0;
n=m+1时，P-Q=(m+1)x-(1+x)^(m+1)=mx+x-(1+x)^m-x(1+x)^m;
设A=mx-(1+x)^m，设B=x-x(1+x)^m=x[1-(1+x)^m],则P-Q=A+B；
A<0;
B=x-x(1+x)^m=x[1-(1+x)^m],
当x=0时B=0；
当x>0时(1+x)^m>0,则B<0;
当x<0时(1+x)^m<0,则B<0;
故A+B仍然<0,即P<Q