边长为a的正方形OPQR,点A、B分别在边OP、OR上，且角AQB＝45度，求四边形OBQA的面积最大值

将三角形BQR绕Q点逆时针旋转90°，R点与P点重合，B点旋转，到B‘点，O,P,B'在一条直线上
∠BQR+∠AQR=45°，BR=B'P,QB=QB',∠BQR=∠B'QP,
连接AB，△AQB≌△AQB'
AB=AB'=AP+BR
设AP=x,OA=a-x,BR=AB-AP=AB-x
OB=a-BR=a+x-AB
在RT△AOB中，OA^2+OB^2=AB^2
(a-x)^2+(a+x-AB)^2=AB^2
AB=(a^2+x^2)/(a+x),BR=AB-x=a(a-x)/(a+x)
S四边形OBQA=a^2-ax/2-a*a(a-x)(a+x)/2
=(a^2)/2+ax(a-x)/(2(a+x))=(a^2)/2+(a^2/4)*(2x/(a+x))*(a-x)/(a+x))
因2x/(a+x)+(a-x)/(a+x)=1是定值，
只有当2x/(a+x)=(a-x)/(a+x)时，它们的积最大
此时x=a/3
所以四边形OBQA的面积最大值为：(a^2)/2+(a^2/4)/4=9a^2/16