数学圆与三角形周长

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/02 14:30:10
已知同一圆内等弦对等圆周角，若该弦与相等圆周角的两边构成三角形，问该三角形是等腰、直角、锐角还是钝角三角形时的周长最大？为什么？
(两三角形都在同一圆内，且有一公共边，那一个三角形的 的周长最大？为什么？）

等腰三角形时周长最大
设三角形ABC为圆O的内接三角形，AC=BC,D为弧BC上任一点，延长AD到E,使DE=DB,而角CDE=180-CDA=180-ABC=180-CAB=CDB,三角形CDE全等于CDB，CE=CB,AC+BC=AC+CE>AD+DE=AD+DB,故等腰三角形ABC的周长大于DAB周长

说集体点

L=a+b+c=2R(sinA+sinB+sinC)=2r[ctg(A/2)+ctg(B/2)+ctg(C/2)]

L——三角形的周长
R——外接圆半径
r——内切圆半径

那就用这个：L=a+b+c=2R(sinA+sinB+sinC)，已知R为定值，并令c=2RsinC为公共定边，这样就转化为求sinA+sinB的最大值了。
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
=2cos(C/2)cos[(A-B)/2]
可以看出，当∠A=∠B时，cos[(A-B)/2]=1为最大值。
所以，周长的最大值为:
L=2R[2cos(C/2)+sinC]
=2R[2cos(C/2)+2sin(C/2)cos(C/2)]
=4Rcos(C/2)[1+sin(C/2)]