问个实变函数的题目

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/19 10:53:02
f在[0,1]区间可微，E是f在其上的所有拐点的集合，求证：m(f(E))=0
1L的，你看清楚题目了？？你完全答非所问。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

to 2楼：额，这里拐点就是指f'=0的点.. 包括你说的吧~
谢谢2楼的提醒。。E应该是使f’=0的点。。。

我是原来的二楼-_-

任取d>0，只要证明m(f(E))<=d。考虑E中的任意一点x，f'(x)=0 => 存在h(x)>0，使得对任意x'，满足|x'-x|<h(x)，就有|f(x')-f(x)|<(d/2)|x'-x|。于是{U(x)=(x-h(x), x+h(x))|x在E中}构成E的一个开覆盖。

根据实数集作为测度空间的可分性，可以选取它的一个可数子覆盖{U(x_i)}，使得[0,1]中的任何一点至多出现在两个U(x_i)中。因此，
m(f(E))<=∑m(f(U(x_i)))<=(d/2)∑m(U(x_i))<=(d/2)*2m([0,1])=d

设g(x)=f(x)-x；
则g(0) > 0 , g(1) < 0 ,g(x)在[0，1]上可微、当然也连续；
于是在（0 1）内有一个x，使g(x)=0,即f(x)=x；
假设在（0 1）内有两个或两个以上x，使g(x)=0：
记其中两个为x1、x2在（0 1）内，x1、x2不相等，
且g(x1)=g(x2)=0；
又因为g(x)在[0，1]上可微；
所以在（x1，x2）内有一个x，使g'(x)=0，即f'(x)=1；
这与且f（x）导数不等于1矛盾；
假设不成立，结论得证！