一道数学题特急需要用平面几何的方法解答

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/05/17 06:03:53

如图，O为半圆AB的圆心，以A为圆心，以小于半圆直径的任意长为半径画圆，交半圆于C，交AB于N，以B为圆心，以BN为半径画圆，交半圆于D，连接CD，取CD的中点M，连结MN。求证：MN⊥AB

(图就请诸位高手将就看吧，感激不尽！！)

注意：字母有点不同。

一个半圆AOB，O为圆心，AB为直径，P是AB上异于点O的一点。以A为圆心，AP为半径作圆交半圆与M。以B为圆心，BP为半径作圆交半圆与N。连结MN，取MN的中点G，连结PG。求证：PG⊥AB

证明：过M、N点分别作MC⊥AB、ND⊥AB 故：四边形MCDN为梯形

令PA＝r PB＝R 则：AB＝（R＋r）

连接MA、MB、NA、NB

故：MA＝PA＝r NB＝PB＝R

∠ANB＝∠AMB＝90度

根据射影定理或求证△NDB∽△ANB及△MAC∽△BMA 可得：BN²＝BD•AB AM²＝AC•AB

故：BD＝R²/(R+r) AC=r²/(R+r)

故：DP＝PB－BD＝R－R²/(R+r)＝Rr/(R+r)

PC＝PA－AC＝r－r²/(R+r)＝Rr/(R+r)

故：DP＝PC 即：P为CD中点

又：G为MN中点，故：PG是梯形MCDN的中位线

故：PG‖ND 又ND⊥AB 故：PG⊥AB

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