UC知道问一道有关抛物线的高中数学题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/17 09:56:19
设过抛物线x^2=2py (p>0) 对称轴上的定点F（0，m) (m>0)作直线AB与抛物线交于A,B两点，且A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<0,x2>0),相应于点F的直线l:y=-m称为抛物线的“类准线”
（1） 若x1x2=-4m,求抛物线方程
（2）过点A(x1,y1)作“类准线”l:y=-m的垂线，垂足为A1，求证：A1,O,B三点共线（O为坐标原点）
（3）若点M是“类准线”L上的任一点，记直线MA,MB,MF的倾斜角依次为，D,E,F 试探求D,E,F余切之间的关系式，并给出证明。
（1） 若x1x2=-4m,求抛物线方程
（2）过点A(x1,y1)作“类准线”l:y=-m的垂线，垂足为A1，求证：A1,O,B三点共线（O为坐标原点）
（3）若点M是“类准线”L上的任一点，记直线MA,MB,MF的倾斜角依次为，D,E,F 试探求D,E,F余切之间的关系式，并给出证明。
1.设AB的方程：y=kx+m
代入抛物线方程得：x^2-2pkx-2pm=0
x1x2=-2pm=-4m, p=2
故抛物线方程是：x^2=4y
2. A1(x1,-m), O(0,0), B(x2, x2^2/4)
k(OB)=x2/4
k(OA1)=-m/x1=(x1x2/4)/x1=x2/4
k(OB)=k(OA1)
故：A1,O,B三点共线
3. 设M(x0,-m)
当x0=0时， cotE=0,
tanD=k(MA)=(y1+m)/x1=(x1^2+4m)/4x1,
tanF=k(MB)=(y2+m)/x2=(x2^2+4m)/4x2
cotD+cotF=...=0
cotD+cotF=cotE
当x0不等于0时，同理可得
我算了一下，第二问很繁，打字更繁
但思路是这样，你耐心算一下，祝你成功
可设A(2pa,2pa^2),B(2pb,2pb^2)(a<0<b).由三点A,B,F共线得：m=-2pab.(1)由题设知，x1*x2=4abp^2=-4m=8abp===>p=2.故抛物线方程为：x^2=4y.（2）由题设知，点A1(2pa,-m).则k(OA1)=-m/2pa=b.k(OB)=b.====>k(OA1)=k(OB).====>三点A1,O,B共线。（3）可设点M(t,-m).则conD=(2pa-t)/(m+2pa^2)=(2pa-t)/[2pa(a-b)],conE=(2pb-t)/[2pb(b-a)],conF=-t/2m=t/2pab.易知：conD+conE=[(2pa-t)/2pa(a-b)]+[(2pb-t)/2pb(b-a)]=...=t/(2pab)=conF====>conD+conE=conF.