若（根号5 +2）的（2r+1）次方的整数部分为m,小数部分为a,求证：a(a+m)=1

首先可知（根号5 +2）的（2r+1）次方=a+m,其次只需证明a=（根号5 -2）的（2r+1）次方即可。

因为0《（根号5 -2）《1，所以可知=（根号5 -2）的（2r+1）次方为小数。

下面证（根号5 +2）的（2r+1）次方-（根号5 -2）的（2r+1）次方为整数即可。

用二项式展开分析一下即可知。

若(√5+2)^(2r+1)的整数部分为m,小数部分为a,则(√5+2)^(2r+1)=a+m,
(√5+2)^(2r+1)=(√5)^(2r+1)-(2r+1)(√5)^(2r)2+...=A+B
其中A是含有√5所有奇数次幂的项之和,B是是含有√5所有偶数次幂的项之和,显然B是整数,同理(√5-2)^(2r+1)=A-B,两式相减得
(√5+2)^(2r+1)-(√5-2)^(2r+1)=2B是整数,
另一方面,(√5-2)^(2r+1)<1,故得a=(√5-2)^(2r+1),于是
a(a+m)=√5-2)^(2r+1)(√5+2)^(2r+1)=((√5-2)(√5+2))^(2r+1)
=1^(2r+1)=1.

fgjf