已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/26 14:28:13
已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设角MGA=α(π/3≤α≤2π/3）
（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为α的函数；
（2）求y=1/S1^2+1/S2^2
过程

(Ⅰ)在三角形AGM中，由正弦定理：

sin∠AMG/AG=sin∠MAG/GM

其中∠MAG=30°，

∠AMG=180°-(30°+α)，

AG=2/3*AD=2/3*sin60°*AB=根号3/3，
GM=sin∠MAG*AG/sin∠AMG=根号3/6sin(30°+α)

同理，在三角形AGN中，
GN=根号3/6sin(a-30°)

S1=1/2AG·GMsinα=1/2*根号3/3*根号3/6sin(30°+α)*sinα=sinαsin(30°+α)/12

S2=1/2AG·GNsin(180°-α)=1/2*根号3/3*根号3/6sin(a-30°)*sinα=sinαsin(a-30°)/12

(Ⅱ)y=1/(S1^2)+ 1/(S2^2)
=144/[(sinα)^2*sin^2(a-30°)]+144/[(sinα)^2*sin^2(30°+α]
=72(3+cot^2α)

∵π/3<=α<=2π/3

∴-根号3/3<=cotα<=根号3/3，0<=cot^2α<=1/3

∴ymin=216，ymax=240