数学建模问题~好的追加分数~~

问题描述
某人自上午8点开始从营地沿一山间小径登山，到达山顶的时间为下午5点，第二天他从上午8点开始沿同一路线下山，并于下午5点返回营地。试证：在这条线路上存在一点，使得他在第二天到达这点的时间与第一天到达该点的时间相同。

模型假设
假设问题中的一个人为甲乙两个人，时间为一天，并让这两个人在同一天同时出发，沿着同一条路线一人从营地出发而另一人从山顶出发相向而行。

建立模型
设甲的步行速度为x千米每小时，乙的步行速度为y千米每小时，他们相遇时，甲距离营地为a米，该路线的总长为s米，相遇的时间为t点。
从而有
a/x+(s-a)/y=t-8

分析求解
若存在该点，则题意等价于甲乙要在该路线的某处相遇,相遇的时间对他们来说均为那一天的同一时刻，即要证明a<s恒成立。
解：a/x+(s-a)/y=t-8
方程可化为：
a(y-x)= (t-8)xy -sx
1. 当甲乙两人速度相等，即x=y时
显然a=1/2s，此时两人在该路线的中点处相遇。
2. 当甲乙两人速度不相等，即x<>y时
则a=((t-8)xy -sx)/(y-x)
若要证明a<s,即要证明((t-8)xy -sx)/(y-x)<s
(t-8)xy -sx<sy-sx
(t-8)xy <sy
显然y<>0,则可化为
(t-8)x <s
由题意可知，只有当t=17时 (t-8)x =s，
而又由题设条件可知 8<t<17，
所以(t-8)x <s显然恒成立，即a<s恒成立，甲乙必然要在该路线的某处相遇。

结论：在这条线路上存在一点，使得此人在第二天到达这点的时间与第一天到达该点的时间相同。