简单不等式的证明

（反证法）
假设a,b,c,d 中没有一个是负数，即都大于等于0，
因为a,b,c,d ∈R, 且 a+b =c+d =1 ，
所以(a+b)(c+d)=1*1=1,
ac+ad+bc+bd=1
ad+bc=1-(ac+bd)
因为ac+bd >1，
所以ad+bc=1-(ac+bd)<0,
这与a>=0,b>=0,c>=0,d>=0,ac+bd>=0相矛盾，
所以假设不成立，a,b,c,d 中至少有一个是负数。

假设全是正数则有：ab<=[(a+b)/2]^2=1/4,cd<=[(c+d)/2]^2=1/4，即ab+cd<=1/2，矛盾，故不全为正数

假设a>=0,b>=0,c>=0,d>=0
由于 a+b=1,c+d=1
所以b=1-a>=0,c=1-d>=0
那么1-a>=0 ,即a<=1
同理 d<=1
把上式改为 a=1-b>=0
则有 c<=1 ,d<=1
所以 ac<=1 ,bd<=1
两式相加得 ac+bd<=1,与条件ac+bd>1矛盾
所以假设不成立