矩阵的特征值

可以先看2阶的情况。这时矩阵都是平面上的几何变换，于是“x是特征向量”就等价于说，A所对应的几何变换在向量x的方向上是拉伸（如果特征值是负的，那么“拉伸”理解为向相反的方向作的变换）。具体例子：
A=[0, 2; 2, 0]
它有特征值2，相应的特征向量有[a,a]。那么A对应的变换是将点的两个坐标互换，而容易发现，[a, a]→[2a, 2a]，即，在这个方向上的点都被拉伸了2倍。

一般n阶也是一样，就是刻画矩阵作为n维空间中几何变换的性质。比如说n阶对角阵，其作用就是在各个坐标轴方向的（不同同比例）拉伸变换。所以对角化的过程也就是找出n维空间中的一组标架，使得矩阵A在这组标架给出的坐标下的变换，就是沿各坐标轴拉伸。