集合概率

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 01:56:44
集合A中a个元素随机分布在M中,集合B中b个元素随机分布在M中,集合C中c个元素随机分布在M中,M中有m个元素
求A与B交集的个数的期望值,A与C交集的个数的期望值,B与C交集的个数的期望值,ABC三个交集的个数的期望值
用abc表示
希望能证明一下
还有m也可表示

有关容斥原理

这题太繁杂了，只以第一个问题为例，其他问题类似分析：

A与B交集的个数的期望值：
令d=min{a,b},（d表示a、b中较小的数）
则AB交集的个数最多为d，
A、B元素都随机分布在M中，
当交集个数为0时，
概率为[C(m,a)*C(m-a,b)]/[C(m,a)*C(m,b)];
（C(m,a)表示从m个元素中随机取a个的组合数）
当交集个数为1时，
概率为[C(m-1,a-1)*C(m-a,b-1)]/[C(m,a)*C(m,b)];
当交集个数为2时，
概率为[C(m-2,a-2)*C(m-a,b-2)]/[C(m,a)*C(m,b)];
……
当交集个数为d时，
概率为[C(m-d,a-d)*C(m-a,b-d)]/[C(m,a)*C(m,b)],

所以A与B交集的个数的期望值为
E(AB)=0*[C(m,a)*C(m-a,b)]/[C(m,a)*C(m,b)]+1*[C(m-1,a-1)*C(m-a,b-1)]/[C(m,a)*C(m,b)]+2*[C(m-2,a-2)*C(m-a,b-2)]/[C(m,a)*C(m,b)]+……+
d*[C(m-d,a-d)*C(m-a,b-d)]/[C(m,a)*C(m,b)].