一道数学双曲线题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/03 05:20:01
已知F1.F2为双曲线X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a大于0,b大于0)的焦点,过F2做垂直于X轴的直线交双曲线于点P,且角PF1F2为30度,则双曲线的渐近线方程为什么?
要有详细的过程哦

由双曲线定义
PF1-PF2=2a

PF1F2是直角三角形，角PF1F2为30度
所以PF1=2PF2
所以PF2=2a

F2(c,0),PF2=2a, 假设P在x轴上方
所以P(c,2a)
代入c^2/a^2-4a^2/b^2=1
b^2c^2-4a^4=a^2b^2
b^2(a^2+b^2)-4a^4=a^2b^2
b^4-4a^4=0
b^4/a^4=4
b/a=√2
所以渐近线y=±√2x

PF1=2PF2
根据双曲线的定义：PF1-PF2=2a===>PF2=2a
又∵F1F2=2√3a==>c=√3a
∴b²=c²-a²=2a²==>b=√2a
y=±b/ax==>y=±√2x
∴双曲线的渐近线方程为y=±√2x