高手进，初中数学题

1.
根据欧拉公式：
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
=0.5(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]>=0
当且仅当a=b=c=0时，等号成立。

2.
由(a-b)^2=a^2-2ab+b^2>=0
所以：a^2+b^2>=2ab
两边同加a^2+b^2
得到：2(a^2+b^2)>=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
所以：a^2+b^2>=√2(a+b)
同理：b^2+c^2>=√2(b+c),a^2+c^2>=>=√2(a+c)
三式相加得：2(a^2+b^2+c^2)>=>=2√2(a+b+c)
即：a^2+b^2+c^2>=√2(a+b+c)

3.
若x或y中有一个为0，0.5<=x^2-2xy+4y^2<=2
若x、y都不为0
x^2-2xy+4y^2
=(x^2+4y^2)[(x^2-2xy+4y^2)/(x^2+4y^2)]
=(x^2+4y^2)[1-2xy/(x^2+4y^2)]
=(x^2+4y^2)[1-2/(x/y+4y/x)]
如果x、y同号，即x/y>0
原式=(x^2+4y^2){1-2/[x/y+4y/x-2√(x/y)*√(4y/x)+4]}
=(x^2+4y^2){1-2/{[√(x/y)-√(4y/x)]^2+4}
>=(x^2+4y^2)(1-2/4)
=0.5(x^2+4y^2)
>=0.5*0.5=1/4
当x=1/2,y=1/4或x=-1/2,y=-1/4时等号成立。
如果x、y异号，即x/y<0
原式=(x^2+4y^2){1+2/[-x/y-4y/x-2√(-x/y)*√(-4y/x)+4]}
=(x^2+4y^2){1+2/{[√(-x/y)-√(-4y/x)]^2+4}
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