在凸四边形ABCD中,P、Q是对角线AC上的三等分点

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 05:09:57
在凸四边形ABCD中,P、Q是对角线AC上的三等分点，延长P、Q交AB、CD于E、F，且S△AED=S△CFD=1/4S四边形ABCD。求证：四边形ABCD为平行四边形

连接EQ、FP
因为AP=PQ，所以S△AED=S△QED
因为CQ=QP，所以S△CFD=S△PFD
故S△QED=S△PFD
所以S△EPQ=S△FQP，△EPQ与△FQP同底，故它们等高
所以EF‖PQ，即EF‖AC
推出AE/AB=CF/BC,又AE/AB=S△AED/S△ABD，CF/BC=S△CFD/S△CBD
所以S△AED/S△ABD=S△CFD/S△CBD
又S△AED=S△CFD=1/4S四边形ABCD，S△ABD＋S△CBD=S四边形ABCD
所以S△ABD=S△CBD=1/2S四边形ABCD
连接CE、AF
因为CP=2AP，所以S△CED=2S△AED=1/2S四边形ABCD=S△CBD
△CED与S△CBD同底，故它们等高，所以BE‖CD，即BA‖CD
同理可得S△AFD=S△ABD，BC‖AD
故四边形ABCD为平行四边形