级数问题，帮帮忙了……

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 08:39:06
f(x)=x^2/√(1-x^2)
展成x的幂级数，并求收敛域……
不知道为什么我做的答案跟正确答案不一样……麻烦高手们帮忙做一下哈……感激不尽阿！
你写的-1/2 取n 组合数是公式吗？我就是那个地方不会化简，你能给写一个通用的公式吗？谢谢了。。

按照楼主的要求，(-1/2 取n 组合数是公式)写的详细一些。

f(x)=x^2/√(1-x^2)
=x^2*(1-x^2)^(-1/2)
=x^2*sum_{n=0}^{无穷}(-1/2 取n 组合数)(-x^2)^n
=x^2*sum_{n=0}^{无穷}(-1)^n (-1/2 取n 组合数) x^(2n)
=sum_{n=0}^{无穷}(-1)^n (-1/2 取n 组合数) x^(2n+2)
其中
(-1/2 取n 组合数)
=(-1/2)(-1/2-1)(-1/2-2)...(-1/2-(n-1)) / n!
=(-1)^n*(1/2)(3/2)(5/2)...((2n-1)/2) / n!
=(-1)^n*(1*3*...*(2n-1) / (2^n*n!)
=(-1)^n*(2n-1)!!/(2^n*n!)
=(-1/2)^n*(2n)!/(n!*n!)
=(-1/2)^n*(2n 取n 组合数)
代入
f(x)=sum_{n=0}^{无穷}(1/2)^n (2n 取n 组合数) x^(2n+2)
=sum_{n=0}^{无穷}2* (2n 取n 组合数) (x/√2)^(2n+2)

可得收敛域为
|x|<√2