关于三角形的数学难题

这个题比较特殊，考虑用反证法：

证明：
假设在题目的条件下，△ABC不是等边三角形。
这时不妨设边长满足关系a>=c>=b，且a>b
∴∠A>=∠C>=∠B，且∠A>∠B
∴0°<∠B<∠A<180°
∴3∠A>∠A+∠B+∠C=180°即：∠A>60°
3∠B<∠A+∠B+∠C=180°即：∠B<60°
∵60°+∠BEF>∠B+∠BEF=∠AFE=∠DFE+∠AFD=60°+∠AFD
∴∠BEF>∠AFD

情况①：
若AF=BE<=DF=EF
那么根据三角形中【大边对大角】得：
∠BFE<=∠B
∴2∠BFE<=∠BFE+∠B<180°
∴∠BFE<90°
同理可得：∠FDA<90°
在△BEF和△AFD中用正弦定理得：
sin∠BFE/sin∠B=BE/EF=AF/FD=sin∠FDA/sin∠A
∴sin∠BFE/sin∠FDA=sin∠B/sin∠A=b/a<1
∴sin∠BFE<sin∠FDA 又∵∠BFE和∠FDA都是锐角
∴∠BFE<∠FDA
∴∠BFA
=∠BFE+∠DFE+∠DFA
=∠BFE+60°+∠DFA<∠FDA+∠A+∠DFA=180°
∠BFA不是180°，B、F、A不在一条直线上，矛盾！

情况②
若AF=BE>=DF=EF
∵180°>∠BEF>∠AFD>0°
∴cos∠BEF<cos∠AFD
用余弦定理代入上式得：
(BE^2+EF^2-BF^2)/(2BE*EF)<(AF^2+FD^2-AD^2)/(2AF*FD)
∴BE^2+EF^2-BF^2<AF^2+FD^2-AD^2
∴BF^2>AD^2