一个三角形ABC,AB=2,AC=3,另一三角形BCP与三角形ABC共BC边，且三角形BCP为正三角形。求AP的取值范围。

解：

(1), ∵0°＜∠BAC＜180°，

假设∠BAC=0°，

即AB与AC重合，点B在AC上，

则有：BC=AC-AB=3-2=1；

当然三角形ABC中，BC≠1，且显然BC＞1；

假设∠BAC=180°，

即AB与AC在同一条直线上，

且点B在CA的延长线上，

则有：BC=AB+AC=2+3=5；

当然三角形ABC中，BC≠5，且显然BC＜5；

∴正三角形BCP的边长在1与5之开区间。

即：1＜BC＜5 。

(2)，设PD为正三角形BCP的高，垂足为D。

(3)，当正三角形BCP的边长BC = 1 时，

高 PD = 0.5√3（“√3 ”表示为根号3 ），

Rt△APD中，斜边AP＾2 = AD＾2 + PD＾2

=2.5＾2 +（0.5√3)＾2

=7, （AP＾2表示为AP的平方）

∴AP = √7 ,

(4)，当正三角形BCP的边长BC = 5 时，

高 PD = 2.5√3 ，

Rt△APD中，斜边AP＾2 = AD＾2 + PD＾2

= 0.5＾2 + (2.5√3 )＾2

=19 ,

∴AP = √19 ,

(5), ∴AP的取值范围是 (√7 ，√19 )，

即: √7＜AP＜√19 。

大于根号3，小于三角形两个边长分别为2和5夹60度角的对边长度！用正弦定理算下就知道了！