高一数学——直线

1)|PA|-|PB|,首先看|PA|、|PB|和|AB|组成的三角形，根据三角形三边关系定理，
|PA|-|PB|<|AB|所以|PA|-|PB|最大值为|AB|。当PAB三点一线时。
AB直线方程3x-y+8=0
与直线L：2x-y-1=0联立求出交点P=(-9,-19)
2)|PA|+|PB|,做B点关于直线L的对称点B'=(1，-3)
看|PA|、|PB'|和|AB'|组成的三角形，根据三角形三边关系定理，
|PA|+|PB'|>|AB'|所以|PA|+|PB'|最大值为|AB'|。当PAB'三点一线时。
AB'直线方程5x+3y+4=0
与直线L：2x-y-1=0联立求出交点P=(-1/11,-13/11)
3)使|AB|的平方+|PB|的平方的和最小
则只需满足|PB|最小即可。
过B最直线L的垂线，交L于P点
垂线方程为x+2y+5=0
与直线L：2x-y-1=0联立求出交点P=(-3/5,-11/5)

1.连接AB，并延长AB，交L与点C，该点就是符合PA-PB最大的点P
证明：对于L上任意不与C重合的点D，ABD都构成三角形，两边之差小于第三边，所以，|PA-PB|<AB
这样，解出C点是：（-9，-19）

2.作A关于L的对称点E，连接AE，AE与L的交点F，就是符合PA+PB最小的点P
证明：对于L上任意点G，都有EG=AG，两点间直线距离最短，所以F即是所要求的P点，这样解出F点是：（4/5,3/5）

3.作AM垂直于L，M是垂足，作BN垂直于L，N是垂足，MN的中点H就是满足PA^2+PB^2最小的点
证明：对于L上任意点P，我们有
PM^2+AM^2=PA^2
PN^2+BN^2=PB^2
所以PA^2+PB^2=PM^2+AM^2+PN^2+BN^2
并且我们设P1在MN之外，P2在MN之内，那么，我们容易证明P1M^2+P2N^2>(MN)^2>P2M^2+P2N^