UC知道组合数学的问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/07 12:09:32
1. 证明：如果从集合{1,2,3,…,60}中任选31个数，那么其中必定有一个数是另一个数的倍数。
2. 证明：任意取6个正整数，其中必定存在这样两个数，它们的差是5的倍数。
3. 对于一个边长为2的正方形，证明：在该正方形内部任意取5个点，则至少有两个点间的距离小于 。
4. 对于一个边长为2的等边三角形，证明：在该三角形内部任意取5个点，则至少有两个点间的距离小于1。
1、以A表示所取的31个数所成的集合，任取s∈A,则 s可表示成s=(2^α)*β
其中α是非负整数，β是不大于59的奇数，对任一整数i(1≤i≤30),令
Ai={s│s∈A,s=(2i-1)*2^α 且α是非负整数}
则Ai属于A且 A1到A30的并集=A 由鸽笼原理的简单形式
必有正整数k，使得Ak的元素个素最少是2个，设s1和s2是这个Ak中的2个元素
s1=（2k-1）2^α1, s2=(2k-1)2^α2
s2是s1的倍数
2、把正整数分为5类，这5类数字除以5所得的余数分别是0.1.2.3.4
现在取6个数，由鸽笼原理的简单形式，必有2个数在同一类正整数里面
不妨设他们是 5k+b 和5（k+a）+b 显然 他们的差能被5整除
3、把正方形分为面积相等的4个小正方形（田字形），取5点，由鸽笼原理的简单形式，必有2点在同一个小正方形内，小正方形内的2点距离最大是根号2
所以至少有两个点间的距离小于根号2
4、连接三角形3边的中点
三角形被分为面积相等的4个小等边三角形，由鸽笼原理的简单形式
必有2点在同一个小三角形内，小三角形内任意2点的距离小于1
得证
1。首先容易判断1、2不能被选中，否则显然会有其他数是他们的倍数
然后，从31开始的质数一定可以选的。因为它不可能是其他数的倍数（1已经排除了），而它的倍数也一定大于60。
这样，31、37、41、43、47、53、59这7个数一定可以被选出
现在要证明的是，不可能在剩下的51个数中选出24个数，使得两两之间不存在倍数关系。
对这51数按如下方式分组：
{3、6、12、24、48}
{4、8、16、32}
{5、10、20、40}
{7、14、28、56}
{9、18、36}
{11、22、44}
{13、26、52}
{15、30、60}
{17、34}
{19、38}<