高二：数列与数学归纳法

1． 已知数列a，a(1-a)，a(1-a)2,…是等比数列，则实数a的取值范围是除开0和1的一切实数。
2． “三个数a、b、c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件。
3． 若三个数x，2x+2，3x+3成等比数列，则x=-4。
4． 等比数列｛an｝中，a1+a2+a3=6，a4+a5+a6=48,求数列｛an｝的通项公式。
由a1+a2+a3=6得a1(1+q+q^2)=6,由a4+a5+a6=48得a1*q^3(1+q+q^2)=48。两式相除得q^3=8,即q=2,a1=6/7。an=(6/7)2^(n-1)。
5． 已知数列｛an｝是等差数列，数列｛bn｝是等比数列，且Sn=ean，tn=lg bn，其中n属于N*。求证：（1）数列｛Sn｝是等比数列，（2）数列｛tn｝是等差数列。
(1)“Sn=ean”是否是“Sn=e^an”?
由题意有S(n+1)/Sn=e^a(n+1)/e^an=e^[a(n+1)-an]=e^d(其中d为等差数列{an}的公差)是一个常数，所以，数列｛Sn｝是等比数列；
(2)t(n+1)-tn=lg[b(n+1)]-lgbn=lg[b(n+1)/bn]=lgq(其中q为等比数列{bn}的公比，这里隐含bn＞0)。
6． 等比数列｛an｝中，a4=5，a8=6，则a2•a10=30， a6=√30。
7． 已知｛an｝是等比数列，且an＞0，a2 a4+2 a3 a5+ a4 a6=25。那么a3+ a5的值等于5
8． 已知a1，a2，…，an为各项均大于零的等比数列，公比q≠1，则（A. a1+ a8＞a4+ a5）。
A. a1+ a8＞a4+ a5 B. a1+ a8＜a4+ a5 C. a1+ a8= a4+ a5 D. a1+ a8与a4+ a5的大小关系无法确定
9． 有三个数成等比数列，其积为27，其平方和为91，求这三个数。
设这三个数分别为a/q,a,aq,由题意得a=3,q=±3或q=±1/3。这三个数分别为1、3、9或9、3、1，或-1、3、-9，或-9、3、-1。
10． 已知数列｛an｝的前n项和为S