设三角形a,b,c。 a+b+c=1求证a^2+b^2+c^2+4abc<1/2

解：令 a = x + y , b = y + z , c = z + x.(由于是三角形三边长,肯定能找到相应的正实数x,y,z满足条件.)因为a+b+c=1所以 x + y + z = 1/2. 注意到此时有平均值不等式 xyz <= 1/216因此 F = a^2 + b^2 + c^2 + 4abc = (x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2 + 4(x+y)(y+z)(z+x) = 2(x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + zx) + 4(1/2 - x)(1/2 - y)(1/2 - z) = 2(x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + zx) + 4(1/8 - 1/4(x+y+z) + 1/2(xy + yz + zx) - xyz)= 2(x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + zx) + 2(xy + yz + zx) - 4xyz= 2(x+y+z)^2 - 4xyz= 1/2 - 4xyz因为Xyz都大于0至此, F < 1/2 得证.

设a=sin^2αcos^2β,
b=cos^2αcos^2β,
c=sin2^β, 0≤β≤∏/2 .
因为a, b, c为三边长，所以c<1/2 , c>|a-b|，
从而 0≤β≤∏/4，
所以（sinβ)^2>|(cosα•cosβ)^2|.

因为1=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca),
所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).

又因为ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)
=sin^2βcos^2β+sin^2αcos^2α•cos^4β•cos^2β
= 1/4[1-(cos2β)^2+(1-(cos2α)^2)cos^4βcos2β]
= 1/4+ 1/4cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)
>1/4 +1/4 cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=1/4 .