设A、B、C为三角形的三个内角，求证sinA／2×sinB／2×sinC／2≤1/8

sin(A/2)•sin(B/2)•sin(C/2)
=sin(A/2)•sin(B/2)•cos((A+B)/2)
=1/2{cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)}•cos((A+B)/2)
=1/2{-cos²(A+B)/2+cos(A-B)/2•cos(A+B)/2}
≤1/2{-cos²(A+B)/2+cos(A+B)/2}
= - 1/2{cos²(A+B)/2-cos(A+B)/2}
=- 1/2{cos²(A+B)/2-cos(A+B)/2+1/4-1/4}
=-1/2{(cos(A+B)/2-1/2)-1/4}
= -1/2(cos(A+B)/2-1/2)²+1/8
≤1/8
当且仅当cos(A+B)/2=1/2，A+B=120°时取等号。
这个题主要是运用积化和差与和差化积及不等式的应用。
积化和差与和差化积在现在教材不太重要，不知你是哪
省的？在浙江省的基本上没有用了。

∵ A、B、C为三角形的三个内角，
∴ sinA≤1，sinB≤1，sinC≤1，
∴ sinA×sinB×sinC≤1，
∴ sinA／2×sinB／2×sinC／2
=(sinA×sinB×sinC)/8 ≤1/8 。

即求证sinA×sinB×sinC≤1，因为sinA≤1，sinB≤1，sinC≤1，所以sinA／2×sinB／2×sinC/2≤1/8