设A、B、C为三角形的三个内角，求证sin（A／2）×sin（B／2）×sin（C／2）≤1/81

（1983，瑞士MO）设a,b,c是三角形的三边长，s是半周长，则
abc≥8(s-a)(s-b)(s-c)。

sinA/2=√{[(1-cosA)/2]=√[1-(b^2+c^2-a^2)]/4bc}

=√[(2bc-b^2-c^2+a^2)/4bc]

=√[(a+b-c)(a+c-b)/4bc]

=√[(s-b)(s-c)/bc]

同理可得：

sinB/2=√[(s-a)(s-c)/ac]

sinC/2=√[(s-a)(s-b)/ab]

sinC/2*sinA/2*sinB/2

=√[(s-a)(s-b)/ab]* √[(s-a)(s-c)/ac]*√[(s-b)(s-c)/bc]

= (s-a)(s-b)(s-c)/abc

sinA/2•sinB/2•sinC/2≤1/8

因为A+B+C=180;
C一定时，A=B最大；
也就是sin（A/2)*sin(B/2)*sin(c/2) <=
sin(90-C/2)*sin(90-C/2)*sin(C/2);
然后求一下导数就可以看出在C=60的时候最大了，也就是1/8

hjkyui

原式=1/2*(cos(A/2-B/2)-cos(A/2+B/2))sin(C/2)
=1/2*(cos(A/2-B/2)-sin(C/2))sin(C/2)
=-1/2*(sin(C/2)-1/2*cos(A/2-B/2))^2+1/8*cos(A/2-B/2)^2
<=0+1/8*1=1/8
又当A=B=C=60时，原式=1/8，故不等式成立。