数学 不等式 2道

已知a>0 b>0 函数 f(x)=ax-bx^2 满足f(x)<=1
1当x属于R求证 a<=2根号b
2当 x 属于【0，1】 |f(x)|<=1 求证 b-1<=a<=2根号b

在数列｛an｝中 a0=1 an=p*|a(n-1)|-1 (0<p<1)
1求通项an 证明（数学归纳法
2证明 -1/p<an<0

1.
(1)最大值：x=a/2b, f(x)=a^2/4b<=1
a>0,b>0,a^2<=4b,
a<=b^(1/2)
(2)x=a/2b 分两情况
若a/2b>1,f(1)max=a-b ,f(0）min=0，
a-b<=1
a>2b,a<=1+b
若0<a/2b<1 f(x)max=a^2/4b f(x)min=0 or a-b
a<=b^(1/2) -1<=a-b<=1
得证
2.(1)a0=1,a1=p-1,a2=p-p^2-1,a3=p+p^3-p^2-1
a(2n+1)=p+p^3+p^5+……+p^(2n+1)-1-p^2-p^4-……-p^(2n)
a(2n)=p+p^3+p^5+……+p^(2n-1)-1-p^2-p^4-……-p^(2n)
证明：
若a(2n)满足条件，则a(2n+1)=p*|a(2n)|-1
又p<1,p^3<p^2……
a(2n)<0,a(2n+1)=p*(1+p^2+p^4+……+p^(2n)-p-p^3-……-p^(2n+1))-1=a(2n+1)
同样，可以由a（2n+1）推出a（2n+2）
由于a0，a1，a2，a3满足条件
得证
(2)a(2n)<0（已证）
要证a(2n+1)<0 则
p+p^3+p^5+……+p^(2n+1)-1-p^2-p^4-……-p^(2n)
=(p-1)(1+p^2+p^4+……+p^(2n))<0
a(2n)=p(1-(P^2)^n)/(1-p^2))-(1-(P^2)^(n+1))/(1-p^2)
=(p-p^(2n+1)-1+p^(2n+2))/(1-p^2)
=-(1+p^(2n+1))/(p+1)>-(1+p^(2n+1))/p>-1/p
a(2n+1)=p(1-(P^2)^(n+1))/(1-p^2))-(1-(P^2)^(n+1))/(1-p^2)