设在任意点y=y(x),x∈(-∞,+∞)=满足Δy=(y/1+x^2)Δx+o(Δx)，若y(1)=π*e^π/4，则y(根号3)=?。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/01 06:44:24
设在任意点y=y(x),x∈(-∞,+∞)=满足Δy=(y/1+x^2)Δx+o(Δx)，若y(1)=π*e^π/4，则y(根号3)=?。
【解】由已知等式对任意x∈(-∞,+∞)成立，则有f(x)在(-∞,+∞)内可导，且 y′=y/1+x^2，dy/y=dx/1+x^2，积分后得到
lny=arctanx+lnC，又，y=C*e^arctanx,
由y(1)=π*e^π/4，得C=π。于是，y=π*e^arctanx, y(根号3）=π*e^π/3

注：π为派，*为乘号
我不明白解释中积分后的东西是怎么得来的？谢谢

dy/y积分得到lny
dx/1（没看懂）积分后arctanx
后面需要有个常数 为了计算方便 就写成lnC 这个不影响 lnC的值域是R

首先你要知道一个公式，就是三角函数求导的
arctanx'=1/(1+x^2)
arccotx'=-1/(1+x^2)
因此，对1/(1+x^2)积分，得到arctanx+lnC
又因为d(lny)=1/y*dy
所以dy/y积分的lny
左右两边同时去e的指数
e^(lny)=e^(arctanx+lnC)
即
y=e^(arctanx)*e^(lnC)
=C*e^(arctanx)

汗……是不是落了括号？
dy/y=dx/（1+x^2）
arctanx的导数是1/（1+x^2）
所以dx/（1+x^2）的积分是arctanx+c 方便后来计算可写成arctanx+lnC
dy/y积分得lny
然后lny=arctanx+lnC
移项计算y……y=C*e^arctanx,