一道几何加代数的综合题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 07:19:15
已知：如图，在直角坐标平面中，点A的坐标为（x1,0），点B的坐标为（x2,0),且（x1小于0小于x2),A,B两点的距离等于13，点C在y轴的负半轴上，tg角BAC=2/3，图像经过A、B、C三点的二次函数解析式为y=1/6x平方-mx+n。试猜想三角形ABC的形状，并证明你的猜想。
这是图片

不用猜，直接算就可以了。

由题意：A(3*[m-√(m^2-2n/3)],0)，B(3*[m+√(m^2-2n/3)],0)，C(0,n)，其中n<0
|AB|=x2-x1=6*√(m^2-2n/3)=13
即36(m^2)-24n=169①
tan∠BAC=|OC|/|OA|=(-n)/ {-3*[m-√(m^2-2n/3)]}=2/3
即2*[m-√(m^2-2n/3)]=n
化简得：(3n-12m+8)*n=0
因为n<0,所以3n-12m+8=0②
由①②，得m=7/2,n=34/3(舍去)或m=-5/6,n=-6
所以A(-4,0),B(9,0),C(0,-6)
|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2
这是一个直角三角形，其中∟ACB=90°

是直角三角形，证明如下：
由题意知可设点C的坐标为（0，n），且n<0，
由tan∠BAC=2/3可得：2/3=|OC|/|OA|=-n/(-x1)，故：2*(x1)=3n
在抛物线 y=1/6*x^2-mx+n 中令 y=0，并整理后可得：x^2-6mx+6n = 0，显然它的两个根就是 x1 与 x2，且(x1)*(x2) = 6n，再由 2*(x1)=3n，及 x2 > 0，可解出：x2=4，又由条件有：x1 - x2 = -13，可得到 x1=-9，再代入 2*(x1)=3n，立得：n=-6。
得到了三角形ABC的三个顶点的坐标如下：A(-9,0)，B(4,0)，C(0,-6)。
于是 |OA|=9，|0B|=4，|OC|=6，|0C|*|OC|=|OA|*|OB|，Rt△BOC相似于Rt△COA，从而△ABC也是直角三角形。