在三角形中，∠A，∠B，∠C的对边分别是abc，AD为BC边上的高，且AD=BC，试求b/c+c/b的最大值？

答案是√5

因为b、c是对称的，假设b>=c，即b/c>=1。记BC=AD=a，b/c=u(根据假设，u>=1)
1) 很容易证明函数u+(1/u)在[1, +∞)上单调递增的，因此u+(1/u)在u取最大值时具有最大值

2) 于是问题转化为求b/c的最大值。将B、C放到x轴上，并且C在原点。根据题意，A的纵坐标为a，假设其横坐标为x
A点坐标：(x, a)
B点坐标：(-a, 0)
C点坐标：(0, 0)
于是b/c=√((x+a)^2 + a^)/(x^2 + a^2))=√(1 + (a^2 + 2*a*x)/(x^2 + a^2))

3) 问题又转化为求(a^2 + 2*a*x)/(x^2 + a^2)的最大值，假设这个最大值是k，即(a^2 + 2*a*x)/(x^2 + a^2) 恒<= k
(a^2 + 2*a*x)/(x^2 + a^2) 恒<= k <=>
k*x^2 - 2*a*x + (k - 1)*a^2 恒>= 0 <=>
k > 0并且(2*a)^2 - 4*k*(k-1)*a^2 = 0 <=>
k = (1+√5)/2
即(a^2 + 2*a*x)/(x^2 + a^2) 恒<= (1+√5)/2，并且等号在x=((√5 - 1)/2)*a时是可以取到的

4) 回到问题2)，b/c的最大值是√(1 + (1+√5)/2)=(1+√5)/2

5) 回到问题1)，b/c + c/b的最大值是(1+√5)/2 + 2/(1+√5)=√5，在x=((√5 - 1)/2)*a时取得