关于二次方程的奥数题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/09 10:11:29
若a>b>c>0 则在关于x的方程(a-b)x^2+(b-c)x+(c-a)=0的两个实数根中，较大的一个实根等于多少？（出自希望杯）
要求：详细写出解题过程，并说明解题思路，才能有分

设两个实根分别为x1，x2,
x1+x2=-(b-c)/(a-b)=(c-b)/(a-b)<0
x1*x2=(c-a)/(a-b)<0
所以两实根一正一负
(x1-x2)^2
=(x1+x2)^2-4x1*x2
=[(c-b)/(a-b)]^2-4(c-a)/(a-b)
=[(c-b)^2-4(c-a)(a-b)]/(a-b)^2
=(c^2-2bc+b^2+4a^2-4ac-4ab+4bc)/(a-b)^2
=(b+c-2a)^2/(a-b)^2
1）当b+c>2a时
x1-x2=(b+c-2a)/(a-b)
x1+x2=(c-b)/(a-b)
解得：
x1=(c-a)/(a-b)<0
x2=(a-b)/(a-b)=1
2）当b+c<2a时
x1-x2=(2a-b-c)/(a-b)
x1+x2=(c-b)/(a-b)
解得：
x1=(a-b)/(a-b)=1
x2=(c-a)/(a-b)<0

综上可得，较大的一个实根等于1