对称正定矩阵的三角分解问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 07:30:51
对于任意的对称正定矩阵A可以分解为：A=LD(LT),LT为L的转置，其中L是上三角阵，D为对角阵。同时A还可以分解为：A=UD(UT),UT为U的转置，其中U为下三角阵，D为对角阵。是这样的吧？我想知道怎样求得L和U，以及D矩阵呢？我对这个过程不是很熟悉，希望高手可以帮帮忙。谢谢大家支持

用配方法，把二次型先写出来
Q(x1,x2,...,xn)=(x1,x2,...,xn)A(x1,x2,...,xn)'
设A=(a[i][j])
令x[i]'=x[i]-Sigma(a[i][j]*x[j],j=1 to i-1)
i=2,3,...,n
x[i]''=x[i]-Sigma(a[i][j]*x[j],j=n to i+1)
i=n-1,n-2,...,1
两种方法的坐标变换矩阵，一个是上三角阵，一个是下三角阵，也就是你的U,L了

一般利用Gauss消去法来得到这个分解。
如果不明白消去过程，不妨直接查看A=LD(LT)的各个分量，当L的对角元为1的时候可以逐个元素解出来的。