直角三角形ABC中，CD是斜边上的高，求证：CD+AB>AC+BC

设AB*CD=AC*BC=S，则

AB+CD-(AC+BC)=AB+S/AB-AC-S/AC
=(AB^2*AC+S*AC-AC^2*AB-S*AB)/(AB*AC)
=(AB*AC-S)(AB-AC)/(AB*AC)
由于AB>AC,AC>CD
AB*AC>S
所以上式>0

则CD+AB>AC+BC
得证

∠C=90°
AC+BC<CD+AB,
等价于证明:AC/AB+BC/AB<CD/AB+1 ,
即AC/AB+BC/AB<CD*AC/(AC*AB)+1 ,
根据三角函数的定义, 等价于证明cosA+sinA<sinAcosA+1.
证明：由于0°<∠A<90°, 所以 (1-sinA)(1-cosA)>0,
即 cosA+sinA<sinA*cosA+1,
由于sinA=BC/AB=CD/AC ，cosA=AC/AB,
代入上式，化简得AC+BC<CD+AB.