高考数学问题:直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1是a

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/05/16 09:37:31

1,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1是a,底面ABCD是边长AB=2a,BC=a,的矩形,E是C1D1的中点

(1)求证:平面BCD⊥平面BDE

(2)求二面角E-BD-C的大小

(3)求三棱锥B1-BDE的体积

最好解析一下

第一题与第二题是相矛盾的，既然要证明互相垂直，那还求二面角做什么？此二平面根本就不垂直。

2、作EF⊥CD，EG⊥BD，交BD于G，连结FG，平面DCC1D1⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，根据三垂线定理，FG⊥BD，故<EGF是二面角E-DB-C的平面角，EF⊥GF，三角形EFG是直角三角形，EF=a,△D1GF∽△D1CB，D1F*D1C=D1G*D1B，D1C=2a,

D1B=√[a^2+(2a)^2]= √5a,

D1F=a,a*2a=D1G*√5a,D1G=2a/√5,GF=a/√5,

tan<EFG=EF/FG=a/ (a/√5)= √5,

<EFG=arctan√5,

二面角E-DB-C为arctan√5。

3、求三棱锥B1-BDE的体积

从B1至平面BDE距离不好求，换一个顶点，转换成求D-BB1E的体积，平面EFBB1与底面ABCD垂直，从底面D点作DH⊥BF（BF的延长线）△BCF∽△DFH，DH=√2 a/2,连结B1E，

B1E=√2 a，BB1=a,BB1⊥B1E，三角形B1EB是RT三角形，

S△B1BE=B1E*BB1/2=√2 a*a/2=√2/2a^2

三棱锥B1-BDE的体积= S△B1BE*DH/3=(√2/2)a^2*(√2 a/2)/3=a^3/6